Momentum

Tərif

Sabit oxa nisbi bucaq momenti $ z $ bu oxun ixtiyari 0 nöqtəsinə nisbətən müəyyən edilmiş bucaq momentumu vektorunun bu oxuna olan proyeksiyaya bərabərdir $ L_ (z) $.

$ L_ (z) $ bucaq təcili 0 nöqtəsinin $ z $ oxundakı mövqeyindən asılı deyildir. Tamamilə sərt bir cisim sabit bir ox ətrafında fırlandıqda, vücudun hər bir fərdi nöqtəsi $ v_ (i) $ müəyyən bir sürət ilə $ r_ (i) $ sabit radius dairəsi boyunca hərəkət edir. $ V_ (i) $ və sürət $ m_ (i) v_ (i) $ sürəti bu radiusa dikdir, yəni. radius vektorun qoludur $ m_ (i) v_ (i) $. Buna görə, $ z $ oxuna nisbətdə bir nöqtənin bucaq momentumunun bərabər olduğunu yaza bilərik:

Sərt bir cismin oxa nisbət momenti onun fərdi nöqtələrinin bucaq momentinin cəmidir:

Xətti və bucaqlı sürətlər arasındakı əlaqəni nəzərə alaraq ($ v_ (i) \u003d \\ omega r_ (i) $), sabit oxa nisbətən bədənin açısal təcili üçün aşağıdakı ifadəni əldə edirik:

$ L_ (z) \u003d \\ cəmi _ (i \u003d 1) ^ (n) m_ (i) r_ (i) ^ (2) \\ omega \u003d \\ omega \\ məbləğ \\ məhdudiyyətlər _ (i \u003d 1) ^ (n) m_ (i) r_ (i) ^ (2) \u003d J_ (z) \\ omega $, (1)

yəni oxa nisbətən sərt bir cismin açısal sürəti bucaq sürəti ilə eyni oxa nisbətən bədənin ətalət anının məhsuluna bərabərdir. Zamanla bağlı fərqləndirici ifadə (1), biz aşağıdakıları əldə edirik:

$ \\ frac (dL_ (z)) (dt) \u003d J_ (z) \\ frac (d \\ omega) (dt) \u003d M_ (z) $ (2)

Bu, sabit oxa nisbətən sərt bir cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının tənliyinin başqa bir formasıdır: bədənin bucaq momentinin sabit fırlanma oxuna nisbətdə dəyişmə sürəti bədənə təsir edən bütün xarici qüvvələrin bu oxu ilə əlaqədar yaranan məqama bərabərdir.

  Əyilmənin qorunma qanunu

Bucaq təcilinin qorunma qanunu sabit bir nöqtədə sabitlənmiş bir cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyindən irəli gəlir və aşağıdakılardan ibarətdir: əgər sabit qüvvəyə nisbətən xarici qüvvələrin meydana gələn anı eyni sıfıra bərabərdirsə, bu zaman bədənin bucaq momentumu zamanla dəyişmir.

Həqiqətən, əgər:

$ M \u003d 0 $, sonra $ \\ frac (dL) (dt) \u003d 0 $,

haradan: $ \\ overline (L) \u003d const $. (3)

Başqa sözlə, qapalı sistemin açısal momentumu zamanla dəyişmir.

Sabit ox ətrafında fırlanan bir cismin dinamikasının əsas qanunundan (zəmanət 2), oxa nisbətən bədənin bucaq momentinin qorunma qanunu aşağıdakı kimidir: əgər bədənin sabit fırlanma oxuna nisbətən xarici qüvvələrin anı sıfıra bərabər olarsa, bu oxa nisbətən bədənin bucaq momenti dəyişmir. hərəkət prosesi, yəni. əgər $ M_ (z) \u003d 0 $, onda $ \\ frac (dL_ (z)) (dt) \u003d 0 $, harada $ \\ overline (L) _ (z) \u003d const, $ və ya $ J_ (z) \\ omega \u003d const $. (4)

Bucaq təcilinin qorunma qanunu təbiətin təməl qanunudur. Bu qanunun etibarlılığı məkanın simmetriyasının xassəsi ilə müəyyən edilir - onun izotropiyası, yəni. istinad çərçivəsinin koordinat oxlarının istiqamətinin seçilməsi ilə əlaqədar fiziki qanunların dəyişməzliyi ilə.

Aşağıdakı ifadələr etibarlıdır:

• Bədənin fırlanma oxuna nisbətən ətalət anı bədənin n maddi nöqtələrinin kütlələrinin məhsulların nəzərdən keçirilən oxa olan məsafələrinin kvadratları ilə cəminə bərabərdir:
\
• Bədənin hər hansı bir fırlanma oxuna nisbətən atalet anı $ J_ (z) $, bədənin kütləsi C-nin mərkəzindən keçən paralel oxa bədənin kütlə m-nin məhsulu və baltalar arasındakı məsafənin kvadratı ilə bərabər olduğu atalet anı ilə bərabərdir $ J_ (c) $. z) \u003d J_ (c) + ma ^ (2) $;
• Tamamilə sərt bir bədən sabit ox $ z $ ətrafında fırlananda, kinetik enerjisi bucaq sürətinin kvadratı ilə fırlanma oxuna nisbətdə ətalət anının məhsulunun yarısına bərabərdir:
\
• Formulların müqayisəsindən $ E_ (k_ ( [e-poçt qorunur])) \u003d \\ frac (J_ (z) \\ omega ^ (2)) (2) $ və $ E_ (k) \u003d \\ frac (mv ^ (2)) (2) $ nəticə etibarı ilə ətalət anının ətalət ölçüsü olduğunu göstərir fırlanma hərəkəti zamanı cisimlər;
• Sərt bir cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının sabit oxa nisbəti z (Nyutonun ikinci qanununun analoqu) formasına görə aşağıdakı forma var: $ M_ (z) \u003d J_ (z) \\ varepsilon \u003d \\ frac (dL_ (z)) (dt) $.

Nümunə

0.8 kq ağırlığında bir yük, döşəmədən 3 m hündürlükdə nazik çəkisiz bir ip üzərində asılır. İp, davamlı bir homojen silindrik mili üzərində 30 sm radiuslu bir anlıq ətalət 0,15 kq * m2 olan bir bükülmüşdür. Fırlanan, şaft yükü yerə endirir. Müəyyənləşdirin: yükü yerə endirmə vaxtı, ipin gərginlik qüvvəsi, yükün yerə vurduğu anda yükün kinetik enerjisi.

$ r $ \u003d 15 sm \u003d 0.15m

$ J_ (x) $ \u003d 0.18 kq * m2

Tap: $ t, N, E_ (k) $ -?

Beləliklə, ipin gərginlik qüvvəsi: $ N \u003d \\ frac (J_ (x) \\ varepsilon) (r) \u003d \\ frac (0.18 \\ cdot 4) (0.15) \u003d 4.8H $.

Zəminə təsir anında yükün kinetik enerjisi:

Cavab: $ t \u003d 3.2A $, $ N \u003d 4.8H $, $ E_ (k) \u003d 0.9 J. $

Klassik mexanikadakı məqam

Sürət və təcil arasındakı əlaqə

Tərif

Müəyyən bir istinad nöqtəsinə nisbətdə hissəciyin momentumu onun radius vektoru və təcilinin vektor məhsulu ilə müəyyən edilir:

verilən istinad dairəsində sabitlənmiş seçilmiş istinad çərçivəsinə nisbətdə hissəciyin radius vektoru haradadır, hissəcik təcilidir.

Bir neçə hissəcik üçün açısal təcil belə terminlərin (vektor) cəmi kimi müəyyən edilir:

impuls anı təyin olunan sistemə daxil olan hər bir hissəcinin radius vektoru və təcilidir.

(Hüdudda, hissəciklərin sayı sonsuz ola bilər, məsələn, davamlı paylanmış bir kütlə və ya ümumiyyətlə paylanmış bir sistem halında bu sistemin sonsuz kiçik bir nöqtə elementinin təcil olduğu yerdə yazıla bilər).

Bucaq təcilinin tərifindən asılılıq aşağıdakılardan ibarətdir: hər ikisi, xüsusən də hissəciklər sistemi üçün və bir neçə alt sistemdən ibarət bir sistem üçün aşağıdakıları tutur.

• Qeyd: prinsipcə, açısal təcil hər hansı bir istinad nöqtəsinə nisbətən hesablana bilər (nəticədə fərqli dəyərlər açıq şəkildə bağlanır); lakin, əksər hallarda (rahatlıq və əminlik üçün) kütlənin mərkəzinə və ya sərt bir cismin sabit fırlanma nöqtəsinə və s. görə hesablanır.

Moment hesablanması

Bucaq momentumu vektor məhsulu ilə təyin olunduğundan, hər iki vektora perpendikulyar olan bir pseudovectordur. Bununla birlikdə, sabit bir ox ətrafında fırlanma hallarında bucaq momentumunu psevdovektor kimi deyil, fırlanma oxuna fırlanma istiqamətinə bağlı olan fırlanma oxuna istiqamətləndirmək məqsədəuyğundur. Mənşəyindən keçən belə bir ox seçsəniz, ona açılan açı sürətinin proyeksiyasını hesablamaq üçün iki vektorun vektor məhsulunu tapmaq üçün ümumi qaydalara uyğun bir sıra reseptlər təyin edə bilərsiniz.

arasındakı bucaq haradasa fırlanma oxunun müsbət hissəsində yerləşən müşahidəçi nöqtəsi nöqtəsindən saat yönünün əksinə həyata keçirildiyi müəyyən edilmişdir. Fırlanma istiqaməti hesablamada vacibdir, çünki istədiyiniz proyeksiya işarəsini təyin edir.

Formada yazırıq ki, momentum vektoruna paralel olan radius vektorunun komponenti haradadır və buna bənzər şəkildə ona perpendikulyar. əslində fırlanma oxundan vektora olan məsafədir, buna ümumiyyətlə "çiyin" deyilir. Eynilə, impuls vektorunu iki hissəyə bölüşə bilərik: radius vektoruna paralel və ona dik olan. İndi vektor məhsulunun xətti və paralel vektorların məhsulu sıfıra bərabər olan xüsusiyyətlərdən istifadə edərək daha iki ifadəni əldə edə bilərik.

Bucaq təcilinin qorunması

Beləliklə, qapalı sistemin tələbi xarici qüvvələrin əsas (cəmi) anının sıfıra bərabər olması tələbi ilə rahatlaşdırıla bilər:

hissəciklər sisteminə tətbiq olunan qüvvələrdən birinin anı haradadır. (Ancaq təbii ki, ümumiyyətlə xarici qüvvələr yoxdursa, bu tələb də yerinə yetirilir).

Riyazi olaraq, bucaq təcilinin qorunma qanunu kosmosun izotropiyasından, yəni ixtiyari bir açı ilə fırlanma ilə əlaqədar kosmosun dəyişməzliyindən irəli gəlir. İxtiyari sonsuz olmayan bir açı ilə dönərkən, sayı olan hissəciyin radius vektoru, sürəti ilə dəyişəcəkdir. Sistemin Lagrange funksiyası məkanın izotropiyası səbəbindən belə bir dönmə ilə dəyişmir. Buna görə

İth hissəciyin ümumiləşdirilmiş təcilinin harada olduğunu nəzərə alaraq, son ifadənin cəmindəki hər bir termin şəklində yenidən yazıla bilər

İndi qarışıq məhsulun xüsusiyyətindən istifadə edərək, ümumi amili nəzərə alaraq əldə etdiyimiz vektorların tsiklik permutasiyasını həyata keçiririk:

burada, sistemin açısal təcilidir. Özbaşınalıq baxımından bərabərlikdən irəli gəlir.

Orbitlərdə, bucaq təcili planetin düzgün fırlanması və orbital hərəkətinin bucaq momentumu arasında paylanır:

Elektrodinamikada təcil anı

Bir şarj edilmiş hissəciyin bir elektromaqnit sahəsində hərəkətini təsvir edərkən, canonical impuls daim deyil. Nəticədə, canonical açısal təcil də dəyişməz deyil. Sonra "kinetik impuls" adlandırılan həqiqi bir impuls alırıq:

elektrik yükü haradadır, işığın sürəti, vektor potensialıdır. Beləliklə, bir elektromaqnit sahəsindəki yüklü bir kütlə hissəsinin Hamiltonianı (dəyişməz):

skalyar potensialı haradadır. Bu potensialdan Lorentz qanununa əməl olunur. İnvariant açısal təcil və ya "kinetik açısal təcil" aşağıdakılarla müəyyən edilir.

Kvant mexanikasında momentum

Moment operatoru

Qeyri-relativistik mexanikada açısal momentumun hesablanması

Sürətlə hərəkət edən və radius vektoru ilə təsvir olunan nöqtədə yerləşmiş bir maddi nöqtə varsa, bucaq təcili düsturla hesablanır:

vektor məhsulunun işarəsi haradadır.

Bir bədənin açı momentumunu hesablamaq üçün onu sonsuz hissələrə bölmək lazımdır vektor   anlarını maddi nöqtələrin bucaq momenti kimi cəmləşdirin, yəni inteqralı götürün:

Bunu sıxlıq vasitəsilə yenidən yaza bilərsiniz:

Sabit bir oxa nisbətən bucaq momentumu z   bir skalyar miqdar deyilir L zbu oxun ixtiyari 0 nöqtəsinə nisbətən müəyyən edilmiş bucaq təcili vektorunun bu oxuna proyeksiyasına bərabərdir. İmpuls anı L z   oxun 0 nöqtəsinin mövqeyindən asılı olmayaraq z.
   Tamamilə sərt bir cisim sabit bir ox ətrafında fırlandıqda, bədənin hər bir fərdi nöqtəsi sabit radius dairəsi ətrafında hərəkət edir r i   müəyyən sürətlə v i. Sürət v i   və təcil m i v i   bu radiusa dik olan, yəni radius vektorun çiynidir m i v i. Buna görə, oxa nisbətən bir nöqtənin bucaq təcili olduğunu yaza bilərik z   bərabərdir

Sərt bir cismin oxa nisbət momenti onun fərdi nöqtələrinin bucaq momentinin cəmidir:

   Xətti və bucaqlı sürətlər arasındakı əlaqəni nəzərə alaraq ( v i \u003d ωr i), sabit oxa nisbətən bədənin bucaq momentumu üçün aşağıdakı ifadəni əldə edirik:

I.e. oxa nisbətən sərt bir cismin açısal sürəti bucaq sürəti ilə eyni oxa nisbətdə bədənin ətalət anının məhsuluna bərabərdir.
   Zamanla əlaqədar fərqləndirici ifadəni (4.12) əldə edirik:

(4.13)

Bu, sabit oxa nisbətən sərt bir cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının tənliyinin başqa bir formasıdır: bədənin bucaq momentinin sabit fırlanma oxuna nisbətdə dəyişmə sürəti bədənə təsir edən bütün xarici qüvvələrin bu oxu ilə əlaqədar yaranan məqama bərabərdir.
Bucaq momentumunun qorunma qanunu   sabit bir nöqtədə sabitlənmiş bir cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyindən (4.8 tənliyi) və aşağıdakılardan ibarətdir.
sabit bir nöqtəyə nisbətən meydana gələn xarici qüvvələrin meydana gəlmə anı eyni sıfıra bərabərdirsə, bu nöqtəyə nisbətdə bədənin bucaq momentumu zamanla dəyişmir.
   Həqiqətən, əgər M   \u003d 0 sonra dL / dt   \u003d 0, haradan

(4.14)

Başqa sözlə, qapalı sistemin açısal momentumu zamanla dəyişmir.
   Sabit ox ətrafında fırlanan bir cismin dinamikasının əsas qanunundan z   (tənlik 4.13) aşağıdakı oxa nisbətən bədənin impulsunun qorunma qanunu:
bədənin fırlanan oxuna nisbətən xarici qüvvələrin anı eyni sıfıra bərabərdirsə, hərəkət zamanı bədənin bu oxa nisbətən bucaq momentumu dəyişmir, yəni əgər M z   \u003d 0 sonra dL z / dt   \u003d 0, haradan

Bucaq təcilinin qorunma qanunu təbiətin təməl qanunudur. Bu qanunun etibarlılığı məkanın simmetriyasının xassəsi ilə müəyyən edilir - onun izotropiyası, yəni. istinad çərçivəsinin koordinat oxlarının istiqamətinin seçilməsi ilə əlaqədar fiziki qanunların dəyişməzliyi ilə.
Sabit fırlanma oxuna nisbətən bucaq momentumunun qorunma qanununun düzgünlüyünü Jukovski dəzgahında aparılan təcrübə ilə göstərmək olar. Bir Jukovsky dəzgahı, sabit bir şaquli ox OO 1 ətrafında sürtünmədən sərbəst dönən bir üfüqi bir platformadır. Bir skamyada dayanan və ya oturan bir şəxs uzanmış qollarda gimnastik dumbbellləri tutur və açı ilə sürətlə OO 1 oxu ətrafında dəzgahla birlikdə ω 1. Özünə bir dumbbellə yaxınlaşaraq, bir adam sistemin ətalət anını azaldır və xarici qüvvələrin anı sıfır olduğu üçün sistemin bucaq təcili qorunub saxlanılır və fırlanma sürəti ω 2   artan. Sonra OO 1 oxuna nisbətən bucaq momentumunun qorunma qanununa əsasən yaza bilərik:

Harada J 0   - bir şəxsin və dəzgahın ətalət anı; 2 mr 1 2   və 2 mr 2 2   - birinci və ikinci mövqelərdəki dumbbelllərin ətalət anları; m   - bir dumbbell kütləsi; r 1, r 2   - dumbbelldən OO 1 oxuna qədər olan məsafə.
   Sistemin ətalət anının dəyişməsi onun kinetik enerjisinin dəyişməsi ilə əlaqələndirilir:

Üçün ifadəsini istifadə edin ω 2(4.16) -dən alınıb

  çevrilmələrdən sonra əldə edirik:

   Sistemin kinetik enerjisindəki bu dəyişiklik, dumbbellləri hərəkət edərkən bir insanın gördüyü işə bərabərdir.
   Cədvəldə. 4.2, bədənin sabit bir ox ətrafında fırlanmasını və onun hərəkətli hərəkətini təyin edən əsas fiziki kəmiyyətlər və tənliklər müqayisə edilir.

Cədvəl 4.2

Tapşırıq 1Radiusu 10 sm və kütləsi 5 kq olan bir top qanuna görə simmetriya oxu ətrafında fırlanır φ \u003d A + Bt 2 + Ct 3harada In   \u003d 2 rad / s 2, İlə   \u003d -0.5 rad / s 3. Fırlanma oxuna nisbətən qüvvələrin anını vaxtında müəyyənləşdirin t   \u003d 3 c.
Verilmişdir: R   \u003d 0,1 m; m   \u003d 5 kq; φ \u003d A + Bt 2 + Ct 3   şad; In   \u003d 2 rad / s 2; İlə   \u003d -0.5 rad / s 3; t   \u003d 3 c.
Tapmaq üçün: M z.
Həll yolu
   Sabit oxa nisbətən bərk cismin fırlanma hərəkətinin dinamikasının tənliyinə görə

Cavab: M z   \u003d -0.1H * m.

Tapşırıq 2. Radiasiyası 20 sm olan homojen bir davamlı silindrik milə yüngül bir ip toxunur, inertiya anı 0,15 kq * m 2 olan, sonuna 0,5 kq ağırlıq qoyulur. Tamburun fırlanmasından əvvəl döşəmədən yuxarı yük hündürlüyü 2,3 m idi (Şəkil 4.7). Müəyyən edin: a) yükü yerə endirmə vaxtı; b) iplik gərginliyinin gücü; c) yerə təsir anında yükün kinetik enerjisi.
Verilmişdir: R   \u003d 0,2 m; J z   \u003d 0,15 kq * m 2; m   \u003d 0,5 kq; h   \u003d 2.3 m.
Tapmaq üçün: t, T, E k.

Həll yolu
   Enerjinin qorunması qanununa görə

Cavab: t   \u003d 2 s; T   \u003d 4.31 N; E k   \u003d 1.32 J.

Müstəqil bir həll üçün tapşırıqlar

1. Eyni sürətlə sürüşmədən eyni kütlə rulonun eyni materialından hazırlanmış bir top və möhkəm bir silindr. Topun kinetik enerjisinin davamlı bir silindrin kinetik enerjisindən neçə dəfə az olduğunu müəyyənləşdirin.
2. Çəkisi 0,5 kq olan içi boş nazik divarlı bir silindr sürüşmədən yuvarlanır, divara dəyir və oradan yuvarlanır. Divara vurmadan əvvəl silindr sürəti 1 m / s vurduqdan sonra 1,4 m / s-dir. Zərbədən sonra buraxılan istilik miqdarını müəyyənləşdirin.
3. Bir oxa quraşdırılmış kütləsi 10 kq olan homojen bir fasiləsiz diskin halqasına 30 N sabit bir qüvvə tətbiq olunur.Güc hərəkət etməyə başladıqdan sonra 4 s kinetik enerjini təyin edin.
4. Fan 600 rpm-də fırlanır. Söndükdən sonra eyni dərəcədə yavaş-yavaş dönməyə başladı və 50 inqilab edərək dayandı. Əyləc qüvvələrinin işidir 31.4 J. Müəyyənləşdirin: a) əyləc qüvvələrinin anı; b) fanatın ətalət anı.
5. 100 m sabit bir cərəyan qüvvəsi, radiusu 0,5 m olan homojen bir davamlı diskin halqasına tətbiq olunur .. Disk döndükdə sürtünmə qüvvəsi anı 2 N * m hərəkət edir. Bucaq sürətlənməsinin sabit olduğu və 16 rad / s 2-yə bərabər olduğu bilinirsə, diskin kütləsini təyin edin.
6. Üfüqi ilə 30 ° bir açı düzəldən meylli bir təyyarədən, top sürüşmədən yuvarlanır. Sürtünməni laqeyd qoyaraq, topun meylli bir müstəvidə hərəkət etdiyi vaxtı təyin edin, əgər yuvarlanarkən onun kütlə mərkəzinin 30 sm azaldığı məlum olarsa.
7. Yüngül bir ip, radiusu 50 sm olan homojen bir davamlı silindrik milə sarılır, sonuna 6,4 kq ağırlığında bir yük bağlanır. İpi açan yük, 2 m / s 2 sürətlənməsi ilə endirilir. Müəyyən edin: a) milin ətalət anı; b) valın kütləsi.
8. 25 kq ağırlığında və 0,8 m radiusda olan üfüqi bir platforma 18 dövrə tezliyində fırlanır. Bir kişi mərkəzdə dayanır və ayrı əllərində çaydanı tutur. Platformanı bir disk olaraq nəzərdən keçirək, bir adam əllərini aşağı salsa, atalet momentini 3,5 kq * m 2-dən 1 kq * m 2-ə endirirsə platformanın fırlanma tezliyini müəyyənləşdirin.
9. 60 kq ağırlığında, 120 kq ağırlığında bir üfüqi bir platformanın kənarında dayanan, 10 dövrə tezliyi olan bir stasionar şaquli ox ətrafında fırlanaraq bir adam mərkəzinə gedir. Platformanı yuvarlaq bir vahid disk və bir adamın bir nöqtə kütləsi olaraq nəzərdən keçirərək platformanın bundan sonra hansı tezliklə dönəcəyini təyin edin.
10. Davamlı homojen bir disk şəklində olan platform sabit bir şaquli ox ətrafında ətalət ilə dönə bilər. Platformanın kənarında kütləsi platformanın kütləsindən 3 dəfə az olan bir şəxsdir. Bir şəxs platformanın radiusunun yarısına bərabər məsafədə mərkəzə yaxınlaşdıqda platformanın bucaq sürətinin necə və neçə dəfə dəyişəcəyini müəyyənləşdirin.

  ammanisbətən sabit nöqtə 0, vektor məhsuluna bərabər olan fiziki miqdar deyilir

harada - 0 nöqtəsindən a nöqtəsinə çəkilən radius vektoru,
- maddi nöqtənin məqamı.

Vektor istiqaməti sağ vintin burulduğu zaman translational hərəkət istiqaməti ilə üst-üstə düşür üçün . Bucaq momentum vektor modulu

harada - vektorlar arasındakı bucaq və ,- vektor çiyin 0 nöqtəsinə nisbətən. Sabit nöqtəyə nisbətən maddi nöqtələr sisteminin bucaq momenti, eyni nöqtəyə nisbətən sistemin bütün maddi nöqtələrinin açısal momentinin vektor cəmidir.

(22)

7. Sabit oxa nisbətən bucaq momenti.

Maddi nöqtənin təcil anı   ammasabit oxa nisbətən z tərəzi miqdarı adlanır bu oxun ixtiyari 0 nöqtəsinə nisbətən müəyyən edilmiş bucaq təcili vektorunun bu oxuna proyeksiyasına bərabərdir. Bucaq təcilinin dəyəri 0 nöqtəsinin z oxundakı mövqeyindən asılı deyil.

Sərt bir cismin sabit bir ox ətrafında fırlanmasını düşünün z (O-O 1). Möhkəm bir cismin hər nöqtəsi üfüqi bir radius dairəsini təsvir edir sürətlə . Sürət . və təcil
bu radiusa dikdir, buna görə muradius vektorun çiynidir
(bucaq \u003d 90 0). Sərt bir cismin hər nöqtəsinin z oxuna münasibətdə açısal təcili bərabərdir

(23)

ox boyunca düzgün vida qaydası ilə müəyyən edilmiş istiqamətə yönəldilmişdir. Bərkin bütün nöqtələrinin bucaq momenti hizalanacaqdır, buna görə bərkin oxa nisbətən bucaq momenti fərdi hissəciklərin bucaq momentinin cəmidir

yəni sərt bir cismin bütün nöqtələri eyni açı sürəti ilə fırlanır, sonra c sum işarəsindən götürülə bilər

,

.
.

Sərt bir cismin fırlanma oxuna nisbəti bucaq sürəti ilə eyni oxa nisbətən bədənin ətalət anının məhsuluna bərabərdir.

Mühazirə 6. Fırlanma hərəkətinin dinamikasının tənlikləri.

1. Bucaq təcilinin qorunma qanunu.

Bucaq sürətini fərqləndirin zamanla

Dəyər nisbəti ilə təcil ilə əlaqəli maddi nöqtənin sürətidir
. Buna görə, ilk müddət
xətti vektorların bir vektor məhsulu kimi sıfıra bərabərdir və
, (
) İkinci müddət Newton tənliyini istifadə edərək dəyişdirilə bilər

.

. (1)

Bu sabit bir nöqtəyə münasibətdə anların tənliyi. Bir maddi nöqtənin bucaq təcilinin vaxt törəməsi (sabit bir nöqtəyə nisbətən) eyni nöqtəyə nisbətdə qüvvə anına bərabərdir.

(1) anların tənliyi maddi nöqtələrin ixtiyari sistemi vəziyyətinə ümumiləşdirilə bilər. Sistem 0 mərkəzi ətrafında fırlanan n maddi nöqtələrdən ibarət olsun.

…………………….

harada
- daxili qüvvələrin anı,
- xarici qüvvələrin anı.

Nyutonun üçüncü qanununa görə
\u003d 0, daxili qüvvələr cüt-cüt girdiyindən, bir cismin digəri ilə işlədiyi qüvvə bərabərdir və ikinci cismin birincisi üzərində işlədiyi qüvvə əks istiqamətə yönəldilir. Bu qüvvələrin ümumi anı sıfırdır (bax Şəkil.)

Bu tənlik əsasında forma alacaqsınız

,

harada
- maddi nöqtələr sisteminin bucaq təcili.

=
- maddi nöqtələr sistemində hərəkət edən bütün qüvvələrin anı.

(2)

Maddi nöqtələr sistemi üçün fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas qanunu. Maddi nöqtələr sisteminin sabit bir nöqtəyə nisbət anının vaxtı törəməsi, bu nöqtəyə nisbətdə bütün xarici qüvvələrin anlarının həndəsi cəminə bərabərdir.

Sabit bir nöqtəyə nisbətdə bütün xarici qüvvələrin anı sıfırdırsa, eyni sabit nöqtəyə nisbətdə sistemin açısal təcili zamanla sabit qalır.

və
və ya (3)

İfadə (3) bucaq təcilinin qorunması qanununun riyazi bir notudur. Əgər sabit oxa nisbətən bucaq sürətini vaxtında fərqləndiririksə, sabit oxa nisbətən anların tənliyini əldə edirik

(4)

Əvvəllər göstərildiyi kimi, bərkin fırlanma oxuna nisbi bucaqdır

.

Əgər ətalət anı fırlanma zamanı sabit qalır, sonra

,

harada
- açısal sürətlənmə. Sonra

(5).

Bucaq sürətlənməsi ilə fırlanma oxuna nisbətən möhkəm bir ətalət anının məhsulu eyni oxa nisbətən xarici qüvvələrin anına bərabərdir.

Tənlik (5) sabit bir ox ətrafında fırlanan hərəkət dinamikasının əsas tənliyidir. Bu, Nyutonun tərcümə hərəkəti üçün tənliyinə bənzəyir.

Kütlənin rolu ətalət anı J, sürətin v rolu bucaqlı sürət w, silt F rolu qüvvənin M anı, impulsun rolu L impuls anıdır. İmpuls momenti L Tez-tez sistemin fırlanma anı adlanır.

Xarici qüvvələrin fırlanma oxuna nisbi anı sıfır olduqda, fırlanma momenti qorunur:

(6)

Diqqətin qorunması qanunu Jukovski dəzgahından istifadə edərək nümayiş etdirilə bilər. Jukovskinin dəzgahı, oturacağı disk şəklindədir. Disk top rulmanlarında şaquli bir ox ətrafında sərbəst şəkildə dönə bilər.

Ayağını yerdən itələyən bir adam dəzgahı fırlanmağa gətirir. Dəzgahla birlikdə özü də dönər. Döngə zamanı sistem dəzgahını və insanın impuls anı sistemdə hansı daxili hərəkətlər edilməsindən asılı olmayaraq sabit qalacaqdır.

Bir insan qollarını bir-birinə yayırsa, o zaman J sisteminin ətalət anını artıracaq və buna görə w fırlanma sürəti azaldılmalıdır ki, fırlanma momenti L \u003d Jw dəyişməz qalır (Şek. 1a və 1b).

Şək.1a. L \u003d J 1 w 1 Şəkil 1b L \u003d J 2 w 2

J 1 w 1 \u003d J 2 w 2 (J 2\u003e J 1, w 2)

Sabit bir Jukovsky skamyasında dayanan bir adam başının üstündən konik hərəkətlər etməyə başlayırsa, dəzgah əks istiqamətdə dönməyə başlayır (Şəkil 2).

Sistemin ümumi açı momentumu sıfıra bərabər qalır.

Gəminin pervanesi dönməyə başlayanda, sistemin bucaq momentumunun qorunması qanununa görə, gəminin gövdəsi əks istiqamətdə dönməlidir. Normal şəraitdə bu qorxulu deyil, lakin kritik vəziyyətlərdə (güclü yanal dalğa, yüngül damar) gəminin aşmasına səbəb ola bilər. Eyni vəziyyət həmişə helikopterlər üçün həyata keçirilir. Bunun baş verməməsi üçün fırlanmayı nəmləndirmək üçün quyruqda başqa bir quyruq rotoru quraşdırılmışdır.

Sonda bədənin fırlanma hərəkətini onlara çevirən hərəkətini təyin edən əsas kəmiyyətləri və tənlikləri müqayisə edirik.

A nöqtəsində tətbiq olunan F qüvvəsinin təsiri altında bir cismin OO oxu ətrafında fırlanmasına icazə verin "(Şəkil 1.14).

Güc oxa dik bir müstəvidə hərəkət edir. O nöqtəsindən qüvvə istiqamətində (oxun üstünə uzanan) çıxarılan perpendikulyar p deyilir çiyin gücü. Çiyin üzərindəki qüvvənin məhsulu O nöqtəsinə nisbətdə qüvvə anının modulunu təyin edir:

M \u003d Fp \u003d Frsinα.

Güc anıgüc tətbiqetmə nöqtəsinin radius vektorunun vektor məhsulu ilə müəyyən edilmiş bir vektor var və güc vektoru:

(3.1)
  Güc anı vahidi Nyuton metridir (N m).

M istiqaməti düzgün vida qaydasından istifadə etməklə tapıla bilər.

Qələbə anı   Zərrəcik hissəciyin radius vektorunun vektor məhsuluna vektor məhsulu adlanır:

ya da skalyar formada L \u003d gPsinα

Bu kəmiyyət vektorialdır və vektorları ilə with istiqamətində üst-üstə düşür.

§ 3.2 Ətalət anı. Steiner teoremi

Tərcümə hərəkəti zamanı cisimlərin ətalətinin bir ölçüsü kütlədir. Fırlanma hərəkəti zamanı cisimlərin hərəkətsizliyi təkcə kütlədən deyil, fırlanma oxuna nisbətən məkanda paylanmasından da asılıdır. Fırlanma hərəkəti zamanı bir ətalət ölçüsü deyilən bir miqdardır bədənin ətalət anı   fırlanma oxuna nisbətən.

Maddi nöqtənin ətalət anı   fırlanma oxuna nisbətən bu nöqtənin kütləsinin oxdan məsafəsinin kvadratına görə məhsuludur:

I i \u003d m i r i 2 (3.2)

Bədənin fırlanma oxu haqqında ətalət anı   bu cismin yarandığı maddi nöqtələrin ətalət anlarının cəminə deyilir:

(3.3)

Bədənin ətalət anı onun hansı oxa döndüyünə və bədənin kütləsinin həcm boyunca necə paylandığına bağlıdır.

Düzgün həndəsi forma və kütlələrin həcm üzərində vahid paylanması olan cisimlərin ətalət anı ən çox müəyyən edilir.

· Homojen bir çubuqun ətalət anıətalət mərkəzindən keçən və çubuğa perpendikulyar olan oxa nisbətən

(3.6)

· Homojen bir silindrin ətalət anı   təməlinə dik olan və ətalət mərkəzindən keçən oxa nisbətən

(3.7)

· İncə divarlı bir silindrin ətalət anı   və ya təməlinin düzünə dik olan və mərkəzindən keçən bir ox haqqında bir halqa,

(3.8)

· Çapa nisbətən topun ətalət anı

(3.9)

Cisimlərin ətalət anları üçün yuxarıdakı düsturlar fırlanma oxunun ətalət mərkəzindən keçməsi şərti ilə verilir. Bədənin ixtiyari bir oxa aid ətalət anlarını təyin etmək üçün istifadə etməlisiniz sükan teoremi : bədənin özbaşına fırlanma oxuna nisbətən ətalət anı, oxun arasındakı məsafənin kvadratına bədənin kütlə mərkəzindən və bədənin kütləsinin məhsulundan keçən paralel oxa nisbətdə cismin ətalət anının cəminə bərabərdir:

(3.11)

Ətalət anı vahidi bir kiloqram metr kvadratdır (kq m 2).

Beləliklə, Steiner teoreminə görə, sonuna keçən oxa nisbətən homojen bir çubuqun ətalət anıdır.

(3.12)

§ 3.3 bir bərk fırlanma hərəkətinin dinamikasının tənliyi

Əvvəlcə radius r dairəsində hərəkət edən A kütləvi m maddi nöqtəni nəzərdən keçirin (Şəkil 1.16). Buna dairənin ətrafına yönəlmiş sabit bir F qüvvəsi təsir etsin. Nyutonun ikinci qanununa görə, bu qüvvə tangensial sürətlənməyə səbəb olur.   və ya F \u003d m a τ .

Nisbəti istifadə edərək a   τ \u003d βr, F \u003d m βr əldə edirik.

Yuxarıdakı bərabərliyin hər iki tərəfini r ilə vurun.

Fr \u003d m βr 2. (3.13)

İfadənin sol tərəfi (3.13) qüvvə anıdır: M \u003d Fr. Sağ tərəf A: J \u003d m r 2 olan maddi nöqtənin ətalət anında bucaq sürətinin məhsuludur.

Sabit bir ox ətrafında fırlandıqda bir nöqtənin bucaq sürətlənməsi torka mütənasib və ətalət anına tərs mütənasibdir (maddi nöqtənin fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyi):

M \u003d β J və ya (3.14)

Daimi bir fırlanma anı ilə açısal sürət sabit olacaq və bucaq sürətlərinin fərqi ilə ifadə edilə bilər:

(3.15)

Sonra fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyi belə yazıla bilər

  və ya (3.16)

[   - impuls momenti (və ya təcil anı), MΔt - qüvvələr momenti (və ya fırlanma anı)].

Fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyi belə yazıla bilər

(3.17)

§ 3.4 Bucaq momentumunun qorunma qanunu

Xarici qüvvələrin ümumi anı sıfır olduqda tez-tez fırlanma hərəkətinə baxaq. Bir cismin fırlanma hərəkəti zamanı onun hissəciklərinin hər biri xətti sürətlə hərəkət edir υ \u003d ,.r,.

Fırlanan bir cismin açısal momenti anların cəminə bərabərdir

onun fərdi hissəciklərinin nəbzləri:

(3.18)

Bucaq təcilinin dəyişməsi təcil təcil qüvvələrinə bərabərdir:

dL \u003d d (Jω) \u003d Jdω \u003d Mdt (3.19)

Bədən sistemində hərəkət edən bütün xarici qüvvələrin ixtiyari sabit oxa münasibətdə cəmi sıfırdır, yəni. M \u003d 0, sonra dL və sistem orqanlarının açısal momentlərinin vektor cəmi zamanla dəyişmir.

İzolyasiya edilmiş bir sistemin bütün cəsədlərinin bucaq momentlərinin cəmi dəyişməz olaraq qalır ( bucaq sürətinin qorunması qanunu):

d (Jω) \u003d 0 Jω \u003d const (3.20)

Bucaq sürətinin qorunması qanununa görə yaza bilərik

J 1 ω 1 \u003d J 2 ω 2 (3.21)

burada J 1 və ω 1 - vaxtın ilk anında ətalət və bucaq sürəti, J 2 və ω 2 - t vaxtında.

Bucaq momentumunun qorunması qanunundan belə çıxır ki, sistemin ox ətrafında fırlanması zamanı M \u003d 0 olduqda cisimlərdən fırlanma oxuna qədər olan məsafədəki hər hansı bir dəyişiklik bu ox ətrafında fırlanma sürətinin dəyişməsi ilə müşayiət olunmalıdır. Artan məsafədə fırlanma sürəti azalır, azaldıqca artır. Məsələn, bir neçə gimnast, havada bir neçə inqilab etmək üçün vaxt qazanmaq üçün atlama zamanı qıvrılır. Bir pirouette gəzən Ballerina və ya fiqurlu konki sürücüsü, fırlanmanı yavaşlatmaq istədiyi təqdirdə qollarını yayır və əksinə, mümkün qədər tez dönməyə çalışarkən onları bədənə basdırır.

§ 3.5 Fırlanan bir cismin kinetik enerjisi

Sabit bir ox ətrafında fırlanan bərk kinetik enerjini təyin edirik. Bu bədəni n maddi nöqtələrə ayırırıq. Hər nöqtə xətti sürət ilə hərəkət edir υ i \u003d ωr i, sonra nöqtənin kinetik enerjisi

  və ya

Fırlanan bərkin cəmi kinetik enerjisi onun bütün maddi nöqtələrinin kinetik enerjilərinin cəminə bərabərdir:

(3.22)

(J, bədənin fırlanma oxu ilə əlaqədar olan ətalət anıdır)

Bütün nöqtələrin traektoriyaları paralel təyyarələrdə yatırsa (meylli bir müstəvidən sürüşən bir silindr kimi, hər nöqtə öz müstəvisində hərəkət edir, əncir) düz hərəkət. Euler prinsipinə görə, təyyarə hərəkəti həmişə saysız-hesabsız çevrilmə və fırlanma hərəkətinə çevrilə bilər. Top meylli bir təyyarə boyunca düşərsə və ya sürüşərsə, yalnız tərcümə olunur; top yuvarlandıqda da dönər.

Bədən eyni vaxtda translational və fırlanma hərəkətləri edirsə, onda cəmi kinetik enerjisidir

(3.23)

Tərcümə və fırlanma hərəkətləri üçün kinetik enerji formullarının müqayisəsindən görünür ki, bədənin ətalət anı fırlanma hərəkəti zamanı ətalət ölçüsü kimi xidmət edir.

§ 3.6 Qatı bir fırlanma zamanı xarici qüvvələrin işi

Möhkəm fırlanan zaman onun potensial enerjisi dəyişmir, buna görə xarici qüvvələrin elementar işi bədənin kinetik enerjisinin artmasına bərabərdir:

ΔA \u003d ΔE və ya

Nəzərə alsaq ki, Jβ \u003d M, ωdr \u003d dφ, bizdə var

ΔA \u003d MΔφ (3.24)

Qatı bir sonlu bir bucaqla fırlanan zaman xarici qüvvələrin işi

Möhkəm bir sabit ox ətrafında fırlanan zaman xarici qüvvələrin işi bu qüvvələrə nisbət anının bu oxa nisbətən hərəkəti ilə müəyyən edilir. Oxa nisbətən qüvvələrin anı sıfırdırsa, bu qüvvələr işləmir.