И интегрального исчисления к решению физических задач» имеет своей целью изучение курса физики на основе математического анализа.
Данный курс углубляет материал курса алгебры и начал анализа в десятом и одиннадцатом классах и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс физики. Это темы «Механика», «Электростатика», «Термодинамика» в физике, и некоторые темы алгебре и начал анализа. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с физикой.
Цели факультативного курса.
1. Обучающие: провести практическое закрепление по темам «Механика», «Электростатика», «Термодинамика», проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с физикой.
2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения физики.
3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности , развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).
Примеры решения задач по физике посредствам математического аппарата.
Приложение дифференциального исчисления к решению некоторых задач механики.
1. Работа. Найдем работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х: F = F (x ). Приращение работы А на отрезке [х, x + dx ] нельзя точно вычислить как произведение F (x ) dx , так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть , т. е. является дифференциалом работы (dA = = F (x ) dx ). Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.
2. Заряд. Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t . Если сила тока / постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt . При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I (t ) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [t , t +- dt ], т.е.- является дифференциалом заряда: dq = I (t ) dt . Следовательно, сила тока является производной заряда по времени.
3. Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1) - масса куска стержня от точки О до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm . Значит, линейная плотность - это производная массы по длине.
4. Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и вычислим количество теплоты Q { T ), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 °С до Т. Зависимость Q = Q (T ) очень сложна и определяется экспериментально. Если бы теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT дало бы изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T , T + dT ] теплоемкость постоянной, получаем дифференциал количества теплоты dQ = c (T ) dT . Поэтому теплоемкость - это производная теплоты по температуре.
5. Снова работа. Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, - это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt . Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N (t ) dt , и мощность выступает как производная работы по времени.
Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k (x ) dx . На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k (x ). Тогда k (x ) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами.
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики.
1.Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y = f (x ), a ≤ x ≤ b , и имеет плотность = (x ) , то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и O y равны
https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">а координаты центра масс и - по формулам где l - масса дуги, т. е.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.
Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Так как путь, пройденный телом со скоростью (t ) за отрезок времени , выражается интегралом то имеем:
Уравнение механического движения. Пусть материальная точка массы т движется под действием силы F по оси х. Обозначим t время ее движения, и - скорость, а - ускорение. Второй закон Ньютона, а m = F примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а как вторую производную: a = x ’’.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики
«Применение методов математического анализа при решении практических задач».
Учитель: Вишневская Н.В.
Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.
2. Повторить алгоритмы решения.
3. Разобрать решение задач повышенной трудности.
4. Решить экономические задачи.
План проведения урока:
На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:
а) Области, где применяются методы математического анализа;
б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;
в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.
В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).
Заполняются таблицы.
Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.
Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).
Домашняя контрольная работа.
Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.
Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.
Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F .
Находят производную f этой функции.
Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.
Подставляя значение х = b находят искомую величину.
Домашние задачи (на доске):
Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О , по направлению к О . В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О , скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.
а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?
б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?
V 1 = 15 км/ч
65 км S 1 О
S 3 S 2
65 км
V л = 25 км/ч
V 2 = 20 км/ч
Решение:
х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О , до момента отправления катера.
– время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.
В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии
км от О
; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О
было равно км; путь катера равен
. Тогда по теореме Пифагора
.
Продифференцируем по х :
;
;
Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.
Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см 3 . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
у
А R В
dy Н
у
R = 3 м
Н = 5 м
уд. вес = 0,8 Г/см 3
Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
Решение:
В плоскости сечения хОу
АОВ
– парабола, уравнение которой
. Найдем параметр а
.
Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.
,
, следовательно
.
Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н
– у)
равна dy
. Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем
.
Из уравнения параболы
, тогда
, т.е. вес слоя жидкости равен
.
Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины
, потребуется затратить элементарную работу
,
. Тогда
, тогда .
Ответ:
.
Работа в классе.
Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?
Решение:
Согласно закону Гука сила F
кГ, растягивающая пружину на х
, равна
, k
– коэффициент пропорциональности.
х = 0,01 м
F = 1 кГ
Тогда
, следовательно
.
Искомая работа
.
Ответ: 0,18 кГм.
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
Решение:
По закону Гука
.
х = 0,01 м
F = 1 кГ
Тогда
, следовательно
.
Искомая работа
.
Ответ: 0,125 кГм.
Сила F , с которой электрический заряд отталкивает заряд (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой
,
где k – постоянная.
Определить работу силы F при перемещении заряда из точки , отстоящей от на расстоянии , в точку , отстоящую от на расстоянии , полагая, что заряд помещен в точке , принятой за начало отсчета.
Решение:
Работа определяется по формуле
,
. Тогда
.
При
получим
.
Ответ:
.
Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.
Решение:
Сила давления жидкости на площадку площадью S
при глубине погружения х
равна
, – удельный вес жидкости.
х С
dх
А В
Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ
, ширину dx
и находится на глубине х
.
Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х , будет равно .
Отсюда
,
,
,
.
Удельный вес воды 1 см 3 = 1 Г, следовательно вес 1м 3 = 1000 кГ.
;
1 кГ 9,81 н
1 бар = 0,987 атм.
Ответ: 144000 кГ.
Скорость движения точки
м/сек. Найти путь s
, пройденный точкой за время Т
= 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
Решение:
, следовательно
,
,
.
Следовательно
.
.
Ответ: 512 м; 64 м/сек.
Карточка № 1 (решается в классе на доске)
Средние совокупные издержки производства мыла (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:
.
Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q , и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой
.
Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?
Решение:
Выразим через Q
сначала цену мыла из формулы
.
.
Тогда прибыль G можно выразить:
Найдем критические точки этой функции:
,
.
Критические точки 100, –340, –120.
Отрицательные корни не имеют экономического смысла.
Q
G
;
.
Значит оптимальный годовой объем мыла
т, тогда цена
(тыс. руб./т).
Тогда годовая выручка R составит: (тыс. руб.).
Ответ: 1 млн. руб.
Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.
Решение:
5 м
8 м
х
dx 12 м
,
,
м.
кГм.
.
Ответ:
кГм.
Карточка № 2 (дополнительная)
Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид
.
Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией
Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.
Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.
Решение:
Используя зависимости
и , выразим
.
у у
a 0 b c x a 0 b c x
«Омская государственная медицинская академия»
Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации
на тему: применение определенного интеграла
в медицине
выполнила студент 1 курса
отделения Лечебное дело
группа 102Ф
Глушнева Н.А.
Введение
Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564-1642) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Кант (1742-1804) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862-1943) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".
Леонардо Да Винчи говорил: «Пусть не читает меня в основах моих тот, кто не математик». Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия.
Математика всем нужна. И медикам тоже. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя быть докой в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии... Ведь современная медицина не может обходиться без сложнейшей техники.
На сегодня невозможно изучение гемодинамики- движения крови по сосудам без применения интеграла.
В течение длительного времени катетеризация
правых отделов сердца являлась единственным
методом исследования, позволявшим оценивать
состояния правых отделов сердца, получать
характеристики внутрисердечного кровотока,
определять давление в правых отделах
сердца и легочной артерии.
Основное преимущество эхокардиографического
исследования (ЭхоКГ) заключается в том,
что неинвазивно в реальном режиме времени
можно оценить размеры и движение сердечных
структур, получить характеристики внутрисердечной
гемодинамики, определить давление в камерах
сердца и легочной артерии. Доказана хорошая
сопоставимость результатов ЭхоКГ-исследования
с данными, полученными при катетеризации
сердца.
ЭхоКГ-исследование позволяет не только
выявить наличие легочной гипертензии,
но и исключить ряд заболеваний, которые
являются причиной вторичной легочной
гипертензии: пороки митрального клапана,
врожденные пороки сердца, дилатационная
кардиомиопатия, хронический миокардит.
Однако, ближе к практике. Для начала найдем линейную скорость кровотока
Изменение линейной скорости кровотока в различных сосудах
Это путь, проходимый в единицу времени частицей крови в сосуде. Линейная скорость в сосудах разного типа различна (см. рисунок) и зависит от объемной скорости кровотока и площади поперечного сечения сосудов. В практической медицине линейную скорость кровотока измеряют с помощью ультразвукового и индикаторного методов, чаще определяют время полного кругооборота крови, которое равно 21-23 с.
Для его определения в локтевую вену вводят индикатор (эритроциты, меченные радиоактивным изотопом, раствор метиленового синего и др.) и отмечают время его первого появления в венозной крови этого же сосуда в другой конечности.
Для начала вспомним, что интеграл- это математический объект, который возник исторически на основе потребности решения различных прикладных задач физики и техники. Это и физические приложения определенного интеграла: вычисление пути материальной точки, движущейся по прямолинейной или криволинейной траектории по скорости ее движения.
Те физические величины, которые определяются с помощью интеграла - как правило, называются интегральными, а те величины, через которые выражаются интегральные величины - дифференциальными. Например, скорость тела в точке - это дифференциальная характеристика тела, а масса тела - интегральная.
Дифференциальные характеристики определяются значением в точке и как правило различны в различных точках пространства.
Интегральные характеристики всегда выражают свойства объектов, относящиеся к целой области пространства. Например, масса характеризует тело целиком как некоторый объект занимающий область пространства. Путь, пройденный телом - это тоже интегральная характеристика, поскольку она характеризует целую траекторию, состоящую из множества точек, а скорость различна в каждой точке траектории и характеризует каждую точку в отдельности.
Возникает вопрос - как же вычислить интегральную скорость для целого сосуда (артерии или вены) , зная линейную скорость кровотока. Очень просто: нужно
Ниже приведены расчеты ударного объема (ударный объём сердца (син.: систолический объем крови, систолический объем сердца, ударный объем крови) - объем крови (в мл), выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу)- одной из основных величин в ЭХОкг, рассчитываемых при помощи интеграла линейной скорости кровотока.
а - Схемы расчета ударного объема, а - с использованием уравнения непрерывности потока, б - с использованием уравнения непрерывности потока при наличии значительной митральной регургитации.
VTI = V cp ЕТ,
где CSA - площадь поперечного сечения, VTI - интеграл линейной скорости потока, V cp - средняя скорость потока в выносящем тракте левого желудочка, ЕТ - время выброса.
В том случае, когда присутствует гемодинамически значимая митральная регургитация (более 2-й степени), тотальный ударный объем левого желудочка рассчитывается по формуле:
TSV = FSV + RSV,
[Интеграл линейной скорости (FVI, или VTI)] = [Время кровотока (ET)] х [Средняя скорость кровотока (Vmean)];
Сердечный выброс может быть определен по интегралу линейной скорости аортального и легочного потока.
В завершении хочу добавить, что моя работа рассчитана не на математика, от и до разбирающегося в интегрировании, а на любого человека, проявившего интерес к применению интеграла в медицине. Поэтому я старалась сделать ее максимально доступной для восприятия и интересной даже ребенку.
Список литературы:
I. В физике
Работа силы
(A=FScos, cos 1)
Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно
приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина
называется работой, совершаемой силой F.
Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины
Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна
Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке --
f(xn-1)(b-xn-1).
Следовательно работа на равна:
А An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))
Приблизительное равенство переходит в точное при n
А = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (по определению)
Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой -F(s) упругость пружины при её сжатии, то
Eп = A= - (-F(s)) dx
Из курса механики известно, что
Отсюда находим
Еп= - (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4
Ответ: Cl2/8.
Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.
Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна
Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда
Ответ: A=0,08 Дж
С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.
Высота тетраэдра
объем тетраэдра
Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен
Теперь найдем работу Ai при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна, а вес тетраэдра:
Следовательно,
Отсюда A=A0+A1=7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж
Ответ: A=9,31 (Дж).
Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом б и ее большая сторона находится на глубине h?
Координаты центра масс
Центр масс - точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.
Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |axb; 0yf(x)} и функция
непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:
x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;
Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.
Изобразим полукруг в системе координат OXY.
y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3
Ответ: M(0; 4R/3).
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.
В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от р/2 до 0, поэтому
Воспользовавшись формулой площади эллипса S=рab, получим
Путь, пройденный материальной точкой
Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью =(t) и за время
T= t2-t1 (t2>t1)
прошла путь S, то
В геометрии
Объём -- количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).
Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле -- объём тела.
Аксиомы объёма:
Объём -- это неотрицательная величина.
Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.
Найдем формулу для вычисления объёма:
выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;
определим границы расположения тела относительно ОХ;
введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.
разобьем отрезок на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме
V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x
а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.
Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n называется интегралом
где S(x) - сечение плоскости, проходящей через выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.
Для нахождения объема надо:
Найти объем трехосного эллипса
Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс
Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский
Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.
Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.
План урока:
1. Защита проекта:
2. Решение упражнений.
Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.
2 ученик: Свойства интеграла
3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).
4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b , f(х) 0 вычисляется по формуле см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу , то её площадь вычисляется по формуле , см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис. ) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис. ). Площадь находится по формуле . в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = (х) (рис. )
5 ученик: Решим задачу
х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0
7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .
Примеры:
1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F - сила Н; х -абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F , а k -коэффициент пропорциональности, Н/м.
Пример:
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,
где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
Пусть плоская кривая АВ (рис.) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) - непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)
где а и b-значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле
(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х" равна .
Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 < ... <х n = b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х k - 1) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна
Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m k , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так
Теперь осталось заметить, что при n -> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу
Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)
Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.
Величины |
Вычисление производной |
Вычисление интеграла
Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь. |