На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует сила, и поэтому при движении заряда в поле совершается определенная работа. Эта работа зависит от напряженности поля в разных точках и от перемещения заряда. Но если заряд описывает замкнутую кривую, т. е. возвращается в исходное положение, то совершаемая при этом работа равна нулю, как бы ни было сложно поле и по какой бы прихотливой кривой ни происходило движение заряда.

Это важное свойство электрического поля нужно несколько пояснить. Для этого рассмотрим сначала движение тела в поле силы тяжести. Работа, как мы знаем (см. том I), равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними: . Если этот угол острый (), то работа положительна, если же угол тупой (), то работа отрицательна. В первом случае мы получаем работу за счет действия силы , во втором – затрачиваем работу на преодоление этой силы. Представим себе, что в поле земного притяжения, т. е. в пространстве вблизи земной поверхности, где действует гравитационная сила притяжения к Земле, перемещается какое-нибудь тело.

Мы предполагаем, что при этом перемещении нет трения, так что тело не испытывает изменений состояния, которые могут сопровождаться изменениями его внутренней энергии: тело не нагревается, не распадается на части, не изменяет своего агрегатного состояния, не испытывает пластической деформации и т. д. В таком случае всякое перемещение тела в поле силы тяжести может сопровождаться лишь изменением потенциальной и кинетической энергии. Если тело опускается, то потенциальная энергия системы Земля-тело уменьшается, а кинетическая энергия тела соответственно увеличивается; наоборот, при подъеме тела происходит возрастание потенциальной энергии и одновременно уменьшение кинетической энергии. При этом полная механическая энергия, т. е. сумма потенциальной и кинетической, остается постоянной (см. том I). Как бы ни был сложен путь тела в поле силы тяжести (подъем и опускание по вертикальной, наклонной или криволинейной траектории, передвижение по горизонтальному направлению), но если в конце концов тело приходит в исходную точку, т. е. описывает замкнутый путь, то система Земля-тело возвращается в исходное положение и имеет ту же самую энергию, какой она обладала до начала перемещения тела. Это означает, что сумма положительных работ, совершенных силой тяжести при опускании тела, равна по модулю сумме отрицательных работ, совершенных силой тяжести на участках пути, соответствующих подъему тела. Поэтому алгебраическая сумма всех работ, совершаемых силой тяжести на отдельных участках пути, т. е. полная работа на замкнутом пути, равна нулю.

Из изложенного ясно, что наш вывод справедлив лишь в том случае, если в процессе участвовала лишь сила тяжести и отсутствовала сила трения и всевозможные другие силы, могущие вызвать указанные выше изменения внутренней энергии. Таким образом, силы гравитационного поля, в отличие от многих других сил, например сил трения, обладают свойством, которое мы можем сформулировать так: работа, совершаемая гравитационными силами при перемещении тела по замкнутому пути, равна нулю. Нетрудно видеть, что это свойство гравитационных сил является выражением закона сохранения (консервации) полной механической энергии. В связи с этим силовые поля, которые обладают указанным свойством, называют консервативными.

Подобно гравитационному полю, электрическое поле, создаваемое покоящимися электрическими зарядами, также является консервативным. Когда в нем перемещается заряд, то на тех участках пути, где направление перемещения составляет с направлением силы острый угол (например, в точке на рис. 38), работа, совершаемая силами поля, положительна. Напротив, там, где направление перемещения составляет с направлением силы тупой угол (в точке ), работа сил электрического поля отрицательна. Когда заряд, пройдя по замкнутому пути, вернется в исходную точку, полная работа электрических сил на этом пути, представляющая собой алгебраическую сумму положительных работ на одних участках и отрицательных на других, равна нулю.

Рис. 38. К доказательству независимости работы сил электрического поля от формы пути

Строгое математическое доказательство консервативности электрического поля в общем случае довольно сложно, и мы ограничимся поэтому доказательством этого свойства поля для простейшего случая – поля, создаваемого одним точечным зарядом.

Пусть в электрическом поле неподвижного точечного заряда другой заряд движется вдоль произвольной замкнутой кривой 1-2-3-4-5-6-1 (рис. 38) и после обхода вдоль кривой возвращается в исходную точку 1. Для подсчета совершаемой при этом работы проведем мысленно ряд сфер с центром в заряде , которые разобьют весь путь заряда на малые отрезки, и рассмотрим два отрезка и , лежащие между одними и теми же сферами (между точками 2 и 3, 5 и 6). Если отрезки и достаточно малы, то можно считать, что сила, действующая на заряд , всех точках каждого из отрезков постоянна. Так как оба отрезка находятся на равных расстояниях от заряда , то, согласно закону Кулона, силы взаимодействия зарядов на обоих отрезках одинаковы по модулю, но отличаются направлением, образуя разные углы и с направлением перемещения. Наконец, при достаточной малости и эти отрезки можно считать прямолинейными. Поэтому работа , совершаемая электрическими силами на пути 2-3, будет равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между направлениями силы и перемещения, т. е.

.

Точно так же работа , совершаемая на пути 5-6, равна

.

Но , так что . Кроме того, из чертежа видно, что

,

где – расстояние между сферами, заключающими отрезки и . Поэтому мы находим, что

т. е. что алгебраическая сумма работ на отрезках 2-3 и 5-6 равна нулю. Такой же результат мы получим и для любой другой пары соответствующих отрезков пути, заключенных между другими сферами. Поэтому и полная работа при обходе по замкнутому контуру, равная сумме работ на отдельных отрезках, тоже будет равна нулю.

Мы получили результат для случая электрического поля одного точечного заряда. Он оказывается справедливым для любого электростатического поля, т. е. поля, созданного неподвижными зарядами, так как поле, создаваемое любым распределением заряда, можно свести к полю совокупности точечных зарядов.

Итак, в электрическом поле работа при перемещении заряда по замкнутому контуру всегда равна нулю.

Так как работа на пути 1-2-3-4-5-6-1 равна нулю, то, следовательно, работа на пути 1-2-3-4 равна по модулю и противоположна по знаку работе на пути 4-5-6-1. Но работа при перемещении заряда на пути 4-5-6-1 равна но модулю и противоположна по знаку работе при перемещении того же заряда во встречном направлении, т. е. по пути 1-6-5-4. Отсюда следует, что работа на пути 1-2-3-4 (рис. 38) имеет тот же модуль и знак, что и работа на пути 1-6-5-4. Так как выбранный криволинейный контур совершенно произволен, то полученный результат можно выразить еще и так: работа, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда между двумя точками в электрическом поле, не зависит от формы пути. Она определяется только положением начальной и конечной точек пути.

20.1. Укажите по возможности больше черт сходства и различия между электрическим и гравитационным полями.

Система заряженных тел обладает потенциальной энергией, называемой электростатической, т.к. электростатическое поле может перемещать помещенные в него заряженные тела, совершая при этом работу.

Рассмотрим работу электростатических сил по перемещению заряда q в однородном электростатическом поле с напряженностью Е, созданном двумя бесконечно большими пластинами с равными по модулю и противоположными по знаку зарядами. Свяжем начало отсчета оси координат с отрицательно заряженной пластиной. На точечный заряд q в поле действует сила . При перемещении заряда из т.1 в т.2 по силовой линии электростатическое поле совершает работу .

При перемещении заряда из т.1 в т.3 . Но . Следовательно, .

Работа электростатических сил при перемещении электрического заряда из т.1 в т.3 вычисляется по выведенной формуле при любой форме траектории. Если заряд перемещается по кривой, то ее можно разбить на очень маленькие прямолинейные участки вдоль напряженности поля и перпендикулярные ей. На перпендикулярных полю участках работа не совершается. Сумма же проекций остальных участков на силовую линию равна d 1 -d 2 , т.е.

.

Таким образом, работа при перемещении заряда в однородном электростатическом поле не зависит от формы траектории, по которой движется заряд, а зависит только от координат начальной и конечной точек пути. Этот вывод справедлив и для неоднородного электростатического поля. Следовательно, кулоновская сила является потенциальной или консервативной и ее работа при перемещении зарядов связана с изменением потенциальной энергии. Работа консервативных сил не зависит от формы траектории тела и равна изменению потенциальной энергии тела, взятой с противоположным знаком.

.

. Значит, .

Точный физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, т.к. ее численное значение зависит от выбора начала координат, а изменение потенциальной энергии, т.к. только оно определяется однозначно.

Работа электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю, т.к. d 2 =d 1 .

ВЕЛИЧИНА, РАВНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ, ПРИХОДИВШЕЙСЯ БЫ НА ЕДИНИЧНЫЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЗАРЯД, ПОМЕЩЕННЫЙ В ДАННУЮ ТОЧКУ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ, НАЗЫВАЕТСЯ ПОТЕНЦИАЛОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДАННОЙ ТОЧКЕ.

Потенциал - скалярная величина. Это энергетическая характеристика поля, т.к. определяет потенциальную энергию заряда в данной точке.

Потенциал определяется с точностью до некоторой постоянной, значение которой зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии. С удалением в неоднородном поле от заряда, создающего поле, поле ослабевает. Значит уменьшается и его потенциал.j = О в бесконечно удаленной от заряда точке. Следовательно, потенциал поля в данной точке поля - это работа, совершаемая электростатическими силами при перемещении единичного положительного заряда из этой точки в бесконечно удаленную. Потенциал любой точки поля, созданного положительным зарядом положителен. В электротехнике за поверхность с нулевым потенциалом принимается поверхность Земли.

Разность потенциалов - разность значений потенциала в начальной и конечной точках траектории.

.

Разность потенциалов между двумя точками - это работа кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда между ними. Разность потенциалов имеет точный физический смысл, т.к. не зависит от выбора системы отсчета.

[V]=Дж/Кл=В. 1 вольт - это разность потенциалов между точками, при перемещении между которыми заряда в 1Кл кулоновские силы совершают работу в 1Дж.

Рассчитаем потенциал точек поля, созданного точечным зарядом Q.

Пусть заряд q перемещается в поле заряда Q по радиальной прямой. Заряд движется в неоднородном поле. Следовательно, при движении будет изменяться сила, действующая на заряд. Но можно разбить все перемещение на настолько маленькие участки dr, на каждом из которых силу можно считать постоянной. Тогда, . Тогда работа на всем пути

Работа в электростатическом поле не зависит от формы траектории.

Поэтому, если заряд перемещается от заряда, создающего поле, не по радиальной прямой, то можно из начальной точки переместить в конечную, перемещая его сначала по дуге окружности радиуса r 1 , а затем по радиальному отрезку до конечной точки. На первом участке работа совершаться не будет, т.к. кулоновская сила будет перпендикулярна скорости тела, а на втором - будет находиться по выше найденной формуле.

Потенциал результирующего поля системы зарядов в данной точке по принципу суперпозиции полей равен алгебраической сумме потенциалов составляющих полей в этой точке.

Геометрическое место точек поля равного потенциала называется ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ . Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям. Работа поля при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Потенциал всех точек внутри проводника равен потенциалу на его поверхности. В противном случае, между точками проводника существовала бы разность потенциалов, что привело бы к возникновению электрического тока. Эквипотенциальные поверхности не могут пересекаться.

В отличие от остальных величин в электростатике разность потенциалов между телами легко измерить с помощью электрометра, соединив корпус и стрелку его с телами, находящимися в данных точках. При этом угол отклонения стрелки электрометра определяется только разностью потенциалов между телами (или, что то же самое, между стрелкой и корпусом электрометра). Практически разность потенциалов между точками в электрических цепях измеряется вольтметром, подключенным к этим точкам.

Работу по перемещению электрического заряда в однородном электростатическом поле можно найти через силовую характеристику поля - напряженность, и через энергетическую - потенциал. Это позволяет установить связь между ними.

Следовательно:

Эта зависимость позволяет ввести единицу напряжености поля в СИ. . Напряженность однородного электростатического поля равна , если разность потенциалов между точками, лежащими на одной силовой линии на расстоянии 1м, равна 1В.

В электростатическом поле напряженность направлена в сторону убывания потенциала.

Нетрудно показать, что в неоднородных полях:

Знак «-» говорит о том, что потенциал убывает вдоль силовой линии.

При переходе из одной среды в другую потенциал, в отличие от напряженности, не может изменяться скачками.

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ.

Потенциал уединенного проводника пропорционален сообщенному ему заряду. Отношение же заряда на проводнике к его потенциалу не зависит от величины заряда. Оно характеризует способность данного проводника накапливать на себе заряды. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬЮ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА НАЗЫВАЮТ ВЕЛИЧИНУ, РАВНУЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМУ ЗАРЯДУ, ИЗМЕНЯЮЩЕМУ ПОТЕНЦИАЛ ПРОВОДНИКА НА ЕДИНИЦУ . Чтобы вычислить электроемкость уединенного проводника, надо сообщенный ему заряд разделить на возникший на нем потенциал.

1фарад - это электроемкость проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда 1Кл. Фарад - это огромная емкость, поэтому на практике мы имеем дело с микро- и пикофарадами. Электроемкость проводника зависит от его геометрических размеров, формы и диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится, а также от расположения окружающих тел.

Потенциал шара . Следовательно, его электроемкость

При перенесении заряда с одного из незаряженных проводников на другой между ними возникает разность потенциалов, пропорциональная величине перенесенного заряда. Отношение же модуля перенесенного заряда к возникшей разности потенциалов не зависит от величины перенесенного заряда. Оно характеризует способность данных двух тел накапливать электрический заряд. ВЗАИМНОЙ ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬЮ ДВУХ ПРОВОДНИКОВ НАЗЫВАЕТСЯ ВЕЛИЧИНА, РАВНАЯ ЗАРЯДУ, КОТОРЫЙ НАДО ПЕРЕНЕСТИ С ОДНОГО ПРОВОДНИКА НА ДРУГОЙ ДЛЯ ИЗМЕНЕНИЯ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ МЕЖДУ НИМИ НА ЕДИНИЦУ.

Взаимная электроемкость тел зависит от размеров и формы тел, от расстояния между ними, от диэлектрической проницаемость среды, в которой они находятся.

Большой электроемкостью обладают конденсаторы - система двух или более проводников, называемых обкладками, разделенных слоем диэлектрика . Зарядом конденсатора называют модуль заряда одной из обкладок.

Чтобы зарядить конденсатор, его обкладки соединяют с полюсами источника тока или, заземлив одну из обкладок, вторую присоединяют к любому полюсу источника, второй полюс которого также заземлен.

Электроемкостью конденсатора называют заряд, сообщение которого конденсатору вызывает появление между обкладками единичной разности потенциалов . Чтобы вычислить электроемкость конденсатора, надо его заряд разделить на разность потенциалов между обкладками.

Пусть расстояние между обкладками плоского конденсатора d гораздо меньше, чем их размеры. Тогда поле между обкладками можно считать однородным, а обкладки - бесконечными заряженными плоскостями. Напряженность электростатического поля от одной обкладки: . Общая напряженность:

Разность потенциалов между обкладками:

. =>

Данная формула справедлива при малых d, т.е. при однородном поле внутри конденсатора.

Различают конденсаторы постоянной, переменной и полупеременной емкости (триммеры). Конденсаторы постоянной емкости называют, как правило, по роду диэлектрика между обкладками: слюдяные, керамические, бумажные.

В конденсаторах переменной емкости часто используется зависимость емкости от площади перекрытия обкладок.

У триммеров (или подстроечных конденсаторов) емкость изменяется при настройке радиоустройств, а при работе остается постоянной.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q 0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении dl равна

Работа при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2

Работа A 12 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек . Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы - консервативными .

Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Из обращения ее в нуль следует, что линии напряженности электростатического поля никогда не могут быть замкнуты сами на себя. Они начинаются и кончаются на зарядах, либо уходят в бесконечность. Это свидетельствует о наличии в природе двух родов электрических зарядов. Формула справедлива только для электростатического поля.

При перемещении зарядов изменяется их взаимное расположение, поэтому работа, совершаемая электрическими силами, в этом случае равна изменению потенциальной энергии перемещаемого заряда:

Потенциальная энергия заряда q 0 , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна , для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна .

В любой точке поля потенциальная энергия W заряда численно равна работе, которую необходимо совершить для перемещения заряда из бесконечности в эту точку.

Отношение зависит только от q и r . Эту величину называют потенциалом:

Единица электрического потенциала – вольт (В).

Она характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы по­ложительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.Для поля точечного заряда: . Потенциал данной точки поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов всех этих зарядов : .

Работа сил поля при перемещении заряда q’ из точки 1 в точку 2 может быть записана в виде:

Величину называют разностью потенциалов (напряжением) электрического поля.

При перемещении заряда в электростатическом поле, действующие на заряд кулоновские силы, совершают работу. Пусть заряд q 0 0 перемещается в поле заряда q0 из точки С в точку В вдоль произвольной траектории (рис.1.12). На q 0 действует кулоновская сила

При элементарном перемещении заряда dl , эта сила совершает работу dA

Где  - угол между векторами и . Величина dl cos=dr является проекцией вектора на направление силы . Таким образом, dA=Fdr, . Полная работа по перемещению заряда из точки С в В определяется интегралом , где r 1 и r 2 - расстояния заряда q до точек С и В. Из полученной формулы следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда q 0 в поле точечного заряда q, не зависит от формы траектории перемещения, а зависит только от начальной и конечной точки перемещения .

В разделе динамики показано, что поле, удовлетворяющее этому условию, является потенциальным. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда - потенциальное , а действующие в нем силы - консервативные .

Если заряды q и q 0 одного знака, то работа сил отталкивания будет положительной при их удалении и отрицательной при их сближении (в последнем случае работу совершают внешние силы). Если заряды q и q 0 разноименные, то работа сил притяжения будет положительной при их сближении и отрицательной при удалении друг от друга (последнем случае работу также совершают внешние силы).

Пусть электростатическое поле, в котором перемещается заряд q 0 , создано системой зарядов q 1 , q 2 ,...,q n . Следовательно, на q 0 действуют независимые силы , равнодействующая которых равна их векторной сумме. Работа А равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил, , где r i1 и r i2 - начальное и конечное расстояния между зарядами q i и q 0 .

Циркуляция вектора напряженности.

При перемещении заряда по произвольному замкнутому пути L работа сил электростатического поля равна нулю. Поскольку, конечное положение заряда равно начальному r 1 =r 2 , то и (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому пути). Так как и , то . Отсюда получаем . Сократив обе части равенства на q 0 , получим или , где E l =Ecos - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения . Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности . Таким образом,циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю . Это заключение есть условие потенциальности поля .

Потенциальная энергия заряда.

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поэтому работу A 12 можно представить, как разность потенциальных энергий заряда q 0 в начальной и конечной точках поля заряда q :

Потенциальная энергия заряда q 0 , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0 .

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна , для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения ) отрицательна .

Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q 0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Потенциал электростатического поля.

Отношение не зависит от пробного заряда q0 и является, энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом :

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина , определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

При перемещении заряда в электростатическом поле, действующие на

При элементарном перемещении заряда dl , эта сила совер­шает работу , где a - угол между векторами и . Величина dl cosa=dr является про­екцией вектора на направление силы . Таким образом, dA=Fdr, . Полная работа по перемещению заряда из точки С в В определяется интегра­лом , где r 1 и r 2 - расстояния заряда q до точек С и В. Из полученной формулы следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда q 0 в поле точеч­ного заряда q, не зависит от формы траектории перемещения, а зависит только от начальной и конечной точки перемещения .

Поле, удовлетворяющее этому условию, яв­ляется потенциальным. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда - потенциальное , а действующие в нем силы - консервативные .

Если заряды q и q 0 одного знака, то работа сил отталкивания будет положи­тельной при их удалении и отрицательной при их сближении. Если заряды q и q 0 разноименные, то работа сил притяжения будет положительной при их сближении и отрицательной при удалении друг от друга.

Пусть электростатическое поле, в котором перемещается заряд q 0 , создано сис­темой зарядов q 1 , q 2 ,...,q n . Следовательно, на q 0 действуют независимые силы , равнодействующая которых равна их векторной сумме. Работа А рав­но­действующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил, , где r i 1 и r i 2 - начальное и конечное расстояния между зарядами q i и q 0 .