Выяснить являются ли линейно независимыми системы элементов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства.
Пространственный базис и аффинная система координат
Векторы, их свойства и действия с ними
Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство.
Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел.
Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)
2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)
3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х
Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным.
Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой.
Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.
Суммой двух векторов и называется вектор, направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.
Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть
Покажем, что
Из рисунка 3 видно, что 
Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.
Свойства операции сложения векторов:
В этих выражениях m, n - числа.
Разностью векторов и называют вектор Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине.
Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения
Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают или просто. Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид
Вектор, имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде 
где r 2 - радиус-вектор точки В; r 1 - радиус-вектор точки А.
Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид
Его длина равна расстоянию между точками А и В
УМНОЖЕНИЕ
Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {ax; ay} на число b находится по формуле
a · b = {ax · b; ay · b}
Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.
3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}
Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax; ay; az} на число b находится по формуле
a · b = {ax · b; ay · b; az · b}
Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2.
2 · a = {2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)} = {2; 4; -10}
Скалярное произведение векторов и 
где - угол между векторами и ; если либо , то
Из определения скалярного произведения следует, что 
где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .
Скалярный квадрат вектора:
Свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах
Если 
то 
Угол между векторами
Угол между векторами - угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).
Векторное произведение(Векторное произведение двух векторов.)- это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся - векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности»
Коллинеарность векторов.
Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним - «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).
Сме́шанное произведе́ние векторов(a, b,c) - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами(a,b,c) .
Свойства
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, чтоСмешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и:
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и, взятому со знаком "минус":
В частности,
Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл - Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Компланарность векторов.
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости
Свойства компланарности
Если хотя бы один из трёх векторов - нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Смешанное произведение компланарных векторов. Это - критерий компланарности трёх векторов.
Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.
В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис
Линейно зависимые и линейно независимые векторы.
Линейно зависимые и независимые системы векторов. Определение . Система векторов называется линейно зависимой , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми .
Теорема (критерий линейной зависимости) . Для того чтобы система век торов линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
1) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.
В самом деле, если, например, , то, полагая , имеем нетривиальную линейную комбинацию .▲
2) Если среди векторов некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система линейно зависима.
Действительно, пусть векторы , , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая 
, получим также нетривиальную линейную комбинацию , равную нулевому вектору.
2. Базис и размерность.
Определение
. Система линейно независимых векторов 
векторного пространства называетсябазисом
этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа 
такие, что имеет место равенство Это равенство называется разложением вектора
по базису , а числа называютсякоординатами вектора относительно базиса
(или в базисе
) .
Теорема (о единственности разложения по базису) . Каждый вектор пространства может быть разложен по базису единственным образом, т.е. координаты каждого вектора в базисе определяются однозначно.
Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы.
Допустим . Тогда
Следовательно вектор x линейно зависим из векторов этой группы.
Векторы x , y , ..., z называются линейно независимыми векторами , если из равенства (0) следует, что
α=β= ...= γ=0.
То есть группы векторов линейно независимы, если ни один вектор не может быть представлен линейной комбинацией других векторов этой группы.
Определение линейной зависимости векторов
Пусть заданы m векторов строк порядка n:
Сделав Гауссово исключение , приведем матрицу (2) к верхнему треугольному виду. Элементы последнего столбца изменяются только тогда, когда строки переставляются. После m шагов исключения получим:
где i 1 , i 2 , ..., i m - индексы строк, полученные при возможной перестановки строк. Рассматривая полученные строки из индексов строк исключаем те, которые соответствуют нулевым вектором строк. Оставшиеся строки образуют линейно независимые векторы. Отметим, что при составлении матрицы (2) изменяя последовательность векторов строк, можно получить другую группу линейно независимых векторов. Но подпространство, которую оба эти группы векторов образуют совпадают.
Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.
.
Решение.
Пусть линейная комбинация 
равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:
.
Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение 
. Следовательно, векторы 
линейно независимы.
Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.
.
Решение.
Векторы 
линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов 
. Коэффициенты разложения по векторам 
определяются из системы уравнений
.
Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.
Следовательно, система векторов 
линейно зависима.
Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.
Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на отличное от нуля число;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов
.
Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.
.
Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы 
называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.
Базис, координаты
Задача 4.
Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию 
.
Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.
Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.
Координаты 
пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением 
, то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис 
состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных 
и 
, то есть .
Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.
Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .
Так как 
, то свободные переменные 
однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .
Задача 6.
Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида 
, где 
– произвольные числа.
Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:
Это соотношение является разложением вектора из по базису 
с координатами 
.
Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов
.
Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.
.
Столбцы 
последней матрицы линейно независимы, а столбцы 
линейно выражаются через них. Следовательно, векторы 
образуют базис 
, и 
.
Замечание
. Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы 
также образуют базис 
.
Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.
Покажем, что эти определения эквивалентны.
Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:
Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.
Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .
Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.
Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные - нулевые.
. (1, 0, 0, …, 0),
(0, 1, 0, …, 0),
(0, 0, 0, …, 1).
Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.
Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.
Каждый вектор n -мерного пространства ā (а 1 , а 2 , ..., а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора
Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:
Следовательно, система линейно зависима.
Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда
Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство.
Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.
Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m >n , то система векторов линейно зависима.
Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.
Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m >n , то, по теореме, данная система линейно зависима.
Линейная зависимость и независимость векторов
Определения линейно зависимой и независимой систем векторов
Определение 22
Пусть имеем систему из n-векторов
и имеем набор чисел
,
тогда
(11)
называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.
Определение 23
Система векторов
называется линейно зависимой,
если существует такой набор коэффициентов
,
из которых хотя бы один не равен нулю,
что линейная комбинация данной системы
векторов с этим набором коэффициентов
равна нулевому вектору:
Пусть
,
тогда
Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)
Система векторов
называется линейно зависимой,
если хотя бы один из векторов этой
системы можно представить в виде линейной
комбинации остальных векторов этой
системы.
Утверждение 3
Определения 23 и 24 эквивалентны.
Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)
Система векторов
называется линейно
независимой, если нулевая линейная
комбинация этой системы возможна лишь
при всех
равных нулю.
Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)
Система векторов
называется линейно
независимой, если не один из векторов
этой системы нельзя представить в виде
линейной комбинации других векторов
этой системы.
Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов
Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)
Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.
Пусть
,
тогда
.
Получим
,
следовательно, по определению линейно
зависимой системы векторов через нулевую
линейную комбинацию (12)
система
линейно зависима.
Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)
Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.
Пусть
- линейно зависимая подсистема
,
среди которых хотя бы одно не равно
нулю:
Значит, по определению 23, система линейно зависима.
Теорема 4
Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой.
Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов
Теорема 5
Два вектора
и
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда
.
Необходимость.
и
- линейно зависимы
,
что выполняется условие
.
Тогда
,
т.е.
.
Достаточность.
Линейно зависимы.
Следствие 5.1
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору
Следствие 5.2
Для того чтобы два вектора были линейно
независимы необходимо и достаточно,
чтобы
был не коллинеарен
.
Теорема 6
Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.
Необходимость.
- линейно зависимы, следовательно, один
вектор можно представить в виде линейной
комбинации двух других.
,
(13)
где
и
.
По правилу параллелограмма
есть диагональ параллелограмма со
сторонами
,
но параллелограмм – плоская фигура
компланарны
- тоже компланарны.
Достаточность .
- компланарны. Приложим три вектора к
точке О:
C
B`
– линейно зависимы
Следствие 6.1
Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.
Следствие 6.2
Для того чтобы векторы
были линейно независимы необходимо и
достаточно, чтобы они были не компланарны.
Следствие 6.3
Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.
Теорема 7
Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Рассмотрим 4 случая:
Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB 1 D 1 C 1 ABDC .
Рассмотрим OB
1
D
1
C
1
– параллелограмм по построению по
правилу параллелограмма
.
Рассмотрим OADD 1 –
параллелограмм (из свойства параллелепипеда)
, тогда
EMBED Equation.3 .
По теореме 1
такие, что
.
Тогда
,
и по определению 24 система векторов
линейно
зависимая.
Следствие 7.1
Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.
Следствие 7.2
Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.
