Раздаточный материал (Приложение №1)
Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:
I. Анализ : Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.
II. Построение : По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.
III. Доказательство : Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
IV. Исследование : Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).
Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:
1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).
2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:
3. Построение биссектрисы угла.
4. Построение угла равного данному.
Серединный перпендикуляр к отрезку.
Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация
О – середина АВ
Описание построения (слайд №4 ):
Луч а; А – начало луча
Окружность (А; r =m)
Окружность а = В; АВ = m
Окружность 1 (А; r 1 > m/2)
Окружность 2 (В; r 1)
Окружность 1 Окружность 2 =
MN ; MN AB =0, (МN = L)
где MN AB, O – середина AB
III. Доказательство (слайд №5, 6)
1. Рассмотрим AMN и BNM:
AM = MB=BN=AN=r 2 , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона
(Рисунок 3)
Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),
Следовательно
1= 2 (по определению равных )
3= 4 (по определению равных )
2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) ->
1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )
3. Из пунктов 1 и 2 -> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB
4. Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB
IV. Исследование
Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.
Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)
Известные вам ГМТ:
Итак, докажем теорему:
Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.
(Рисунок 4)
Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр
Доказать: АМ = ВМ
Доказательство: 1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) -> O – середина отрезка АВ, MOАВ 2. Рассмотрим АМО и ВМО - прямоугольные МО – общий катет |
АО = ВО (О – середина АВ) -> АМО =
ВМО (по 2-м катетам) ->АМ=ВМ (по определению
равных треугольников, как соответствующие
стороны) Что и требовалось доказать |
Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”
Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.
(Рисунок 5)
Дано: АВ; МА=МВ
Доказать : Точка М лежит на серединном перпендикуляре
Доказательство:
Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.
Практикум
Материально техническое оснащение:
Дистрибутив: 29 574 Кбайт
ОС: Windows 9x/2000/XP
Сайт: http://www.ascon.ru
Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)
Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8 , 9).
Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10 ).
Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки "Инструменты " текст.
Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11 ).
m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13 ).
Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16 ).
Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18 ).
Используемая литература:
План решения задач на построение циркулем и линейкой.
Пояснение
Примеры элементарных задач на построение
Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством.
Примеры ГМТ:
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Фигура | Рисунок | Свойство |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | ![]() |
пересекаются в одной точке
. |
![]() |
|
|
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного внутри треугольника. | |
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | ![]() | Центром описанной около прямоугольного
середина гипотенузы
. |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | ![]() | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
![]() |
|
|
Площадь треугольника | ![]() | S = 2R 2 sin A sin B sin C , |
Радиус описанной окружности | Для любого треугольника справедливо равенство: |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
![]() Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке . |
Окружность, описанная около треугольника |
![]() Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности |
![]() Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. |
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |
![]() Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы . |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |
![]() Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
![]() Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Площадь треугольника |
![]() Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Радиус описанной окружности |
Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство.